Warum passen Kreise beziehungsweise Kugeln nicht gut zusammen? Klar, weil Kreise rund sind! Natürlich wissen wir, dass beim Zusammenlegen von perfekt runden Sachen wie Kreisscheiben Lücken bleiben müssen. Am schönsten wird es, wenn man so beginnt, dass man um eine Kreisscheibe herum sechs andere legt — schon das passt perfekt — und dann dieses Muster weiterführt. Es entsteht eine sehr regelmäßige Packung von Kreisscheiben. So überdecken die Kreise 90,69% der Ebene (besser gesagt, ist der Anteil genau ^π/_2√3). Besser geht es nicht. Das wusste schon Johannes Kepler. Bewiesen hat es Carl Friedrich Gauß für Gitterpackungen und der ungarische Mathematiker László Fejes Tóth im Jahr 1940 auch für Kugelpackungen, die keine regelmäßige Gitterpackungen sind.

Die Kepler-Vermutung bezieht sich auf Kugelpackungen im dreidimensinalen Raum. Diese entstehen auf ähnliche Weise wie die Kreispackungen. Jeder Obsthändler weiß, wie es geht: Er legt zunächst eine Ebene mit Orangen: eine in die Mitte, sechs außen herum und so weiter. Dann legt er eine weitere Orange in eine Kuhle der ersten Ebene. Und so weiter. So entsteht eine Kugelpackung, die genau ^π/_3√2 ≈ 74% des Raums ausfüllt. Die Vermutung von Kepler sagt: Besser geht es nicht!

Während die beste Dicht einer Kreispackung vergleichsweise einfach nachzuweisen ist, entzieht sich das entsprechende Problem für Kugelpackungen im dreidimensionalen Raum einer schnellen Behandlung. Im Jahr 1992 begann der amerikanische Mathematiker Thomas Hales mit der Arbeit an einem Beweis. Er reduzierte die gesamte Fülle auf etwa 5000 Kugelpackungen. Sein Beweis wurde durch sehr umfangreiche Computerrechnungen unterstützt. Als er 1998 ein umfangreiche Manuskript bei einer Zeitschrift einreichte, arbeitete eine hochrangige Gutachterkommission die 250 Seiten durch, um am Ende zu dem Schluss zu kommen, dass die zu 99% sicher seien, dass der Beweis richtig ist.